Akademik Veri Yönetim Sistemi
Tez Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Enstitüsü, Kriptografi Anabilim Dalı, Türkiye
Tez Danışmanı: Ferruh Özbudak,Sihem Mesnager
Tezin Onay Tarihi: 2017
Tezin Dili: İngilizce
Özet:
Doğrusal olmayan
fonksiyonlar ve doğrusal kodlar inşa etmek için kullanılan plato fonksiyonlar
kriptografide ve kodlama teorisinde çok önemli rol oynamaktadır. Bu
fonksiyonlar yüksek doğrusalsızlık, düşük otokorelasyon, esneklik, yayılma
kriteri, dengelilik ve korelasyon dayanıklılığı gibi çeşitli istenen
kriptografik özelliklere sahip olabilmektedir. Aslında bu fonksiyonlar esneklik
derecesi ve doğrusalsızlık arasındaki mümkün olan en iyi sınırı sağlar. Bunun
yanı sıra, bu fonksiyonlar düşük Walsh-Hadamard dönüşüm değerlerine sahip
olmalarından dolayı doğrusal kriptanalize ve hızlı korelasyon saldırılarına
karşı dayanıklıdır. Gerçekten de, kriptografik algoritmalar çoğunlukla doğrusal
olmayan fonksiyonların uygun bileşkeleri ile tasarlanır, bu nedenle plato
fonksiyonlar bu algoritmaların güvenliği üzerinde önemli bir etkiye sahiptir.
Plato fonksiyonlar aynı zamanda, gizli paylaşım şemaları, kimlik doğrulama
kodları, iletişim, veri depolama cihazları ve tüketici elektronikleri gibi
birçok alanda uygulamaları olan ve kodlama teorisindeki en önemli kod sınıfını
oluşturan doğrusal kodlarla yakından ilgilidir.
Bu tezin iki
temel amacı vardır: kriptografik açıdan sonlu cisimler üzerindeki
fonksiyonların platoluluk özelliğini veren karakterizasyonlarını detaylı
çalışmak, ve kodlama teorisinde zayıf düzenli plato fonksiyonlardan doğrusal
kodlar inşa etmektir.
Bu tezde, ilk
olarak sonlu cisim Fp, p asal sayı, üzerindeki plato (vektörel) fonksiyonların
karakterizasyonlarını analiz ediyoruz. Açıkçası, bu fonksiyonların yapılarını
anlamak ve inşaları hakkında bilgi edinmek için, Walsh kuvvet momentleri,
türevleri ve otokorelasyon fonksiyonları bakımından çok sayıda
karakterizasyonlarını elde ediyoruz. Özel olarak Fp, p tek asal sayı, üzerinde
homojen kübik bükük (ve bazı durumlarda homojen kübik plato) fonksiyonların
olamayacağını gözlemliyoruz. Ayrıca, mutlak Walsh dönüşümü üç farklı değere
(bir tanesi sıfır) sahip olan fonksiyon olamayacağını gösteriyoruz ve mutlak
Walsh dönüşümü dört farklı değere (bir tanesi sıfır) sahip olan yeni
fonksiyonlar sınıfı veriyoruz. Daha sonra, kısmi bükük ve plato fonksiyonlarını
herhangi bir sonlu cisim Fq, q asal kuvvet, üzerinde çalışıyor ve bu cisim
üzerindeki davranışlarını anlamak için bazı karakterizasyonlarını veriyoruz.
Bunlara ek
olarak, Fp, p tek asal sayı, üzerinde zayıf düzenli (olmayan) plato fonksiyon
kavramını ve bu fonksiyonların ikincil inşalarını veriyoruz. Sonra, zayıf
düzenli p-li plato (sırayla, Boole plato) fonksiyonlardan üç ağırlıklı doğrusal
p-li (sırayla, ikili) kodlar inşa ediyoruz ve bu kodların ağırlık dağılımlarını
belirliyoruz. Son olarak da, inşa edilen
doğrusal kodların ``mükemmel'' erişim yapılarına sahip gizli paylaşım şemaları
üretmek için kullanılabileceğini gösteriyoruz. Bilgimiz dahilinde, Fp, p tek
asal sayı, üzerinde plato fonksiyonlardan doğrusal kodların inşası literatürde
ilk kez bu tezde çalışılıyor.